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Matrices en regresión lineal
Dado que un modelo lineal representa
nnúmero de ejemplos en un conjunto de entrenamiento, habría unnnúmero de ecuaciones lineales para cada valor relevante dexey. Para calcular todas estas instancias, los modelos lineales representan los datos en matrices. Una matriz es como una tabla de datos en la que puede realizar operaciones matemáticas: contiene valores, normalmente números, en filas y columnas.La ecuación del modelo lineal de un solo parámetro que acaba de ver se puede repetir como un vector (una matriz unidimensional) de valores
yque son iguales a una matriz de valoresxmultiplicados por los parámetros del modelo. Como ecuación, esto es:
Nota: La columna de todos los 1 de la matriz
Xes necesaria porque estos 1 se multiplican por el valor de intersección constanteθ0, mientras que la columna de valores de variablexse multiplica porθ1.Por motivos de simplicidad, considere cómo se rellenarían estas matrices utilizando solo los dos últimos puntos del conjunto de los datos de precios de televisores: (112, 405,99) y (120, 299,99). Esto le daría:
Podría usar esto para encontrar los parámetros del modelo
θ0yθ1, pero es mejor multiplicar previamente cada lado de la ecuación por la inversa de la matrizX. Cualquier matriz multiplicada por su inversa (indicada por#LioxSpecialChar8722#1) da como resultado una matriz de identidad. Una matriz de identidad es una matriz de todos los 0 excepto la diagonal principal, que consta de los 1. Después de multiplicar ambos lados por la matriz inversa, se puede quitar la matriz de identidad resultante en el lado derecho de la ecuación y se queda con:
Ahora vea cómo se ven los valores conectados en esta nueva ecuación:
Tome la inversa de una matriz de 2 × 2 mediante la fórmula siguiente:
Cuando los valores están conectados, la inversa de la matriz
Xresulta ser:
A continuación, se multiplican tanto la inversa de la matriz
Xcomo el vectorypara obtener los parámetros del modelo. Esto implica multiplicar los números en las filas deXcon sus columnas coincidentes eny. El cálculo es el siguiente:
Por último, se quedan los siguientes valores para los parámetros del modelo:
Ahora que tiene los parámetros del modelo, puede crear un ajuste en línea recta de los datos utilizando una ecuación lineal. Si estuviera utilizando solo los dos últimos puntos de datos, esto sería
y = #LioxSpecialChar8722#13.25x + 1889.99. Por supuesto, en un escenario real, usaría todo el conjunto de datos como los valores de la matriz, en lugar de solo dos instancias, por lo que los parámetros del modelo cambiarían para tener esto en cuenta.Información adicional
Para obtener más información sobre las transformaciones de matrices, consulte este sitio.
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